Question

（2012•石家莊一模）已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=lnx上，則丨PQ丨的最小值是

2

．

Answer 1

分析：考慮到兩曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線(xiàn)y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線(xiàn)上斜率為1的切線(xiàn)方程，從而得此距離

解答：解：∵曲線(xiàn)y=e^x（e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與曲線(xiàn)y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
故可先求點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的最近距離d
設(shè)曲線(xiàn)y=e^x上斜率為1的切線(xiàn)為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1
∴d=

1

1+1

=

2

2

∴丨PQ丨的最小值為2d=

2

故答案為

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法