Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值，無(wú)極大值.（2）

【解析】分析：⑴當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解極值即可

⑵法一：利用，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)為，構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)分類(lèi)討論求解即可

法二：令，由，得，設(shè)，則，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，即可求出的取值范圍

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

，

由，令，得，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表：

	-	0	+
	↘	極小值	↗

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，有極小值，無(wú)極大值.

（2）解法一：

，

令，得，設(shè)，

則在有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于在有唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，方程的解為，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以滿(mǎn)足題意；

當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)方程的解為，不符合題意；

當(dāng)，時(shí)，由，只需，得，

綜上，.

解法二：

，

令，由，得，

設(shè)，則，，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在恰有一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，

又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

故直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng).