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        1. 若點(diǎn)(p,q)在|p|≤3,|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn).
          (1)求方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率;
          (2)若f(x)=x2+2
          3
          x+2
          ,p,q∈Z,試求方程log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          =|f(x)|
          ,當(dāng)0<|p+1.5|<1時(shí)恰有兩個(gè)實(shí)根的概率.
          分析:(1)作出題中不等式表示的正方形區(qū)域,算出其面積為36.方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,利用根的判別式算出p2+q2≥1,得到滿足條件的區(qū)域?yàn)檎叫蝺?nèi)部且在單位圓外的陰影部分,算出其面積為36-π.最后利用幾何概型計(jì)算公式,可得所求概率;
          (2)由一元二次不等式的解法,可得p、q∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},因此所有的(p,q)共有7×7=49個(gè).再設(shè)y1=log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          ,y2=|f(x)|,利用函數(shù)圖象加以討論并結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則加以計(jì)算,可得符合條件“恰有兩個(gè)實(shí)根”的情況總共有8種,由此利用古典概型公式加以計(jì)算,即可得到所求概率.
          解答:解:(1)|p|≤3,|q|≤3表示一個(gè)正方形區(qū)域,
          如右圖所示,可得其面積為S=6×6=36.
          若方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
          則△=(2p2)-4(-q2+1)≥0,即p2+q2≥1,
          相應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蝺?nèi)部且在單位圓外,其面積為S1=36-π,
          即方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率為P1=
          S1
          S
          =
          36-π
          36

          (2)∵f(x)=x2+2
          3
          x+2
          =[x+(
          3
          +1)][x+(
          3
          -1)],
          (其中p、q∈Z)
          ∴p、q∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},
          所有的(p,q)共有7×7=49個(gè).
          設(shè)y1=log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          ,y2=|f(x)|,
          其中y1 表示一條與x軸平行或重合的直線,y2表示的曲線如下圖所示.
          要使得原方程有兩個(gè)實(shí)根,則y1與y2的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn),可得y1=0或y1>1,
          又∵0<|p+1.5|<1,∴-2.5<p<-0.5,得p=-2或p=-1.
          ①若y1=0,則log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          =0
          ,可得
          q2+q+1
          3
          =1

          即q2+q-2=0,解之得q=1或q=-2,
          故符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況有(-2,1),(-2,-2 ),(-1,1),(-1,-2),共4種情況.
          ②若y1>1,則log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          >1
          ,可得
          q2+q+1
          3
          <|p+1.5|
          ,
          q2+q+1
          3
          <0.5
          ,解之得q=-1或q=0,
          故符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況有:(-2,-1),(-2,0 ),(-1,-1),(-1,0)有共4種情況.
          綜上所述,符合方程有兩個(gè)實(shí)根的情況共有8種,
          因此,方程log|p+1.5|
          q2+q+1
          3
          =|f(x)|
          當(dāng)0<|p+1.5|<1時(shí)恰有兩個(gè)實(shí)根的概率為P2=
          8
          49
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查幾何概型、古典概型的應(yīng)用,考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用等知識(shí),屬于中檔題.用列舉法計(jì)算可列舉事件中的基本事件,運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,是解決本題的關(guān)鍵.
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          π
          36
          π
          36

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