Question

已知函數f（x）是正比例函數，函數g（x）是反比例函數，且f（1）=1，g（1）=1
（1）求f（x），g（x）的解析式． 
（2）設h（x）=f（x）+g（x），判斷函數h（x）的奇偶性．
（3）證明函數S(x)=xf(x)+g(

1

2

)在(0，+∞)上是增函數．

Answer 1

分析：（1）待定系數法：設出函數的解析式，利用f（1）=1，g（1）=1，即可求得結論；
（2）先確定函數的定義域，再驗證h（-x）與h（x）的關系，即可得到結論；
（3）寫出S（x）的解析式，利用導數即可證明；

解答：解：（1）∵函數f（x）是正比例函數，g（x）是反比例函數，
∴設f（x）=k₁x，k₁≠0，g（x）=

k2

x

，k₂≠0，
∵f（1）=1，g（1）=1，
∴k₁=1，k₂=1，
∴f（x）=x，g（x）=

1

x

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+

1

x

，其定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
因為對定義域內的每一個x，都有h（-x）=-（x+

1

x

）=-h（x），
∴函數h（x）是奇函數；
（3）S（x）=xf（x）+g（

1

2

）=x²+2．
S′（x）=2x，當x∈（0，+∞）時S′（x）＞0恒成立，
所以S（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數奇偶性的、單調性的判斷證明及常見函數解析式的求解，屬基礎題，應熟練掌握該類問題的基本解決方法．