Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側(cè)棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點B₁在底面上的射影D落在BC上．

（1）若點D恰為BC的中點，且AB₁⊥BC₁求α的值．
（2）若α=arccos，且當AC=BC=AA₁時，求二面角C₁-AB-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：B₁D⊥AC，再結(jié)合題意得到：AC⊥面BB₁C₁C，得到平行四邊形BB₁C₁C為菱形，再根據(jù)解三角形的有關知識可得：∠B₁BC=60°，進而結(jié)合線面角的定義得到答案．
（2）過C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，則C₁E⊥平面ABC．過E作EF⊥AB，垂足為F，則根據(jù)二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角，吧平面角放入直角三角形，進而利用解三角形的有關知識求出二面角的平面角．
解答：解：（1）∵B₁D⊥面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C．
∵AB₁⊥BC₁，
∴由三垂線定理可知，B₁C⊥BC₁，即平行四邊形BB₁C₁C為菱形，
又∵B₁D⊥BC，且D為BC的中點，
∴B₁C=B₁B，即△BB₁C為正三角形，
∴∠B₁BC=60°，
∵B₁D⊥面ABC，且點D落在BC上，
∴∠B₁BC即為側(cè)棱與底面所成的角，
∴α=60°．
（2）過C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，則C₁E⊥平面ABC．過E作EF⊥AB，垂足為F，由三垂線定理得⊥F⊥AB．
∴根據(jù)二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．
設AC=BC=A₁A=a，
在Rt△CC₁E中，由∠C₁CE=α=srccos可得C₁E=a，
所以在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a，
所以∠C₁FE=45°．
故所求的二面角C₁-AB-C為45°．
點評：本題考查求二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結(jié)構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．