Question

如圖，在正方體ABCD－中，點(diǎn)O為底面對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)．

　　(1)求證：BD⊥；

　　(2)求證：BD⊥平面；

　　(3)求二面角－BD－的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在正方體ABCD－中，底面ABCD是正方形，∴底面對(duì)角線(xiàn)BD⊥AC，易證四邊形是矩形． 　　∴AC∥，∴BD⊥． 　　(2)證明：∵⊥底面ABCD，且BD底面ABCD，∴BD⊥ 　　又∵BD⊥AC，AC平面，平面， 　　AC∩＝A∴BD⊥平面． 　　(3)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，連結(jié)， 　　∵BD⊥平面平面， 　　平面，∴BD⊥，BD⊥． 　　∴∠為二面角的平面角． 　　由平面幾何知識(shí)可知△均為邊長(zhǎng)是a的等邊三角形， 　　∴， 　　∴在△中，根據(jù)余弦定理，有cos∠． 　　分析(1)由于∥AC，故可以轉(zhuǎn)化證明BD⊥AC；(2)要證直線(xiàn)與平面垂直，只要證明直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交的直線(xiàn)垂直即可；(3)先根據(jù)二面角的平面角的作法做出平面角是關(guān)鍵，在△⊥BD，故O是棱上選取的最佳點(diǎn)．

提示：

從已知出發(fā)尋找有關(guān)的性質(zhì)定理，再?gòu)那笞C出發(fā)聯(lián)想有關(guān)的判定定理，把綜合法與分析法結(jié)合起來(lái)使用，是順利找到證明途徑的有效方法，證明位置關(guān)系的一般思路有： 　�。�1)要證線(xiàn)面平行，先證線(xiàn)線(xiàn)平行； 　�。�2）要證面面平行，先證線(xiàn)面平行； 　�。�3）要證線(xiàn)面垂直，先證線(xiàn)線(xiàn)垂直； 　�。�4）要證面面垂直，先證線(xiàn)面垂直．