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        1. 20.如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1.另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形.

            (1)求證:AD⊥BC;

            (2)求二面角B-AC-D的大;

            (3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,說明理由.

          解法一:

          (1)方法一:作AH⊥面BCD于H,連DH.AB⊥BDHB⊥BD,∵AD=,BD=1

          ∴AB==BC=AC  ∴BD⊥DC

          又BD=CD,則BHCD是正方形.

          則DH⊥BC.∴AD⊥BC.

          方法二:取BC的中點(diǎn)O,連AO、DO,則有AO⊥BC,DO⊥BC.

          ∴BC⊥面AOD,∴BC⊥AD.

          (2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,

          則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角.

          ∵AB=AC=BC=,∴M是AC的中點(diǎn),且MN∥CD.

          則BM=,MN=CD=,BN=AD=.

          由余弦定理得cos∠BMN=,∴∠BMN=arccos.

          (3)設(shè)E為所求的點(diǎn),作EF⊥CH于F,連FD.則EF∥AH,

          ∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.

          設(shè)EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,F(xiàn)D=.

          ∴tan∠EDF=,解得x=,則CE=x=1.

          故線段AC上存在E點(diǎn),且CE=1時(shí),ED與面BCD成30°角.

          解法二:

          (1)作AH⊥面BCD于H,連BH、CH、DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH=1,

          以D為原點(diǎn),以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

          則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).

          =(-1,1,0),=(1,1,1),

          ·=0,則BC⊥AD.

          (2)設(shè)平面ABC的法向量為=(x,y,z),

             則由知:= -x+y=0;

             同理由=x+z=0.

             可取=(1,1,-1).

             同理,可求得平面ACD的一個(gè)法向量為=(1,0,-1).

          由圖可以看出,二面角B-AC-D的大小應(yīng)等于<>

            則cos<,>=,即所求二面角的大小是arccos.

          (3)設(shè)E(x,y,z)是線段AC上一點(diǎn),則x=z>0,y=1,

            平面BCD的一個(gè)法向量為=(0,0,1),=(x,1,x),

            要使ED與面BCD成30°角,由圖可知的夾角為60°,

            所以cos<,>=

          則2x=,解得,x=,則CE=x=1.

          故線段AC上存在E點(diǎn),且CE=1時(shí),ED與面BCD成30°角.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          3
          ,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.
          (1)求證:AD⊥BC.
          (2)求二面角B-AC-D的大。
          (3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由.

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          2
          ,動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上.
          (Ⅰ)求證:平面COD⊥平面AOB;
          (Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí),求二面角D-CO-B的大;
          (Ⅲ)當(dāng)CD與平面AOB所成角最大時(shí),求三棱錐C-OBD的體積.

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          (Ⅱ)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐A-BOC中,AO⊥面BOC,二面角B-AO-C是直二面角,OB=OC,∠OAB=
          π6
          ,斜邊AB=4,動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.
          (1)求證:平面COD⊥平面AOB;
          (2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí),求:異面直線AO與CD所成角大。

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          如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=
          3
          ,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形
          (1)求證:AD⊥BC
          (2)求二面角B-AC-D的大。

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