Question

已知向量

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，設函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

1

2

；
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]求函數(shù)f（x）的最值及對應的x的值；-
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式 化簡f（x）的解析式為sin(2x-

π

6

)-1，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ 
求得x的范圍，即可得到f（x）=

a

•

b

-

1

2

的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍可得到2x-

π

6

的范圍，利用f（x）單調(diào)性和值域求出f（x）的最值．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1，故有 m-1＜-

1

2

，且m+1＞0，解不等式求得m的范圍．

解答：解：（1）由已知得f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．
由 -

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈z），
所以f（x）=

a

•

b

-

1

2

的單調(diào)遞增區(qū)間為{x|-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z}．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)-1，∵x∈[

π

4

，

π

2

]，所以 

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
故 當 2x-

π

6

=

π

2

時，即x=

π

3

時，f（x）_max=0，當2x-

π

6

=

5π

6

時，即x=

π

2

時，f(x)min=-

1

2

．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1∴m-1＜-

1

2

，且m+1＞o；故m的范圍為（-1，

1

2

）．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，是一道中檔題．