Question

已知圓心在直線y=2x上的圓C經(jīng)過點(diǎn)M（-1，1），且該圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在過圓心C的兩條互相垂直的直線，使得點(diǎn)M到這兩條直線的距離之積為

3

2

，若存在，請(qǐng)求出滿足條件的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵圓心在直線y=2x上，
∴設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-2a）²=r²，…①
又∵圓C經(jīng)過點(diǎn)（-1，1），
∴（-1-a）²+（1-2a）²=r²，…②
又∵圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為2，
∴1+（2a）²=r²，…③
由①②③解得a=1，r²=5，
則圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=5；                 
（2）由（1）知圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=5，圓心C（1，2），
假設(shè)存在互相垂直的兩條直線滿足條件，
當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0時(shí)，
點(diǎn)（-1，1）到兩條垂直直線的距離之積為2≠

3

2

，不符合題意；
當(dāng)它們的斜率均存在時(shí)，
分別設(shè)為y-2=k（x-1），y-2=-

1

k

（x-1），即kx-y+2-k=0，x+ky-2k-1=0，
∴

|-2k+1|

1+k2

•

|-k-2|

1+k2

=

3

2

，即

|2k2+3k-2|

1+k2

=

3

2

，
當(dāng)

2k2+3k-2

1+k2

=

3

2

時(shí)，即k²+6k-7=0，解得：k=1或k=-7；
當(dāng)

2k2+3k-2

1+k2

=-

3

2

時(shí)，即7k²+6k-1=0，解得：k=-1或k=

1

7

，
則存在互相垂直的兩條直線方程分別為x-y+1=0，x+y-3=0或x-7y+13=0，7x+y-9=0．