Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且圓心C在直線l：2x+y=4上．
（1）求半徑最小時(shí)的圓C的方程；
（2）求證：動(dòng)圓C恒過一個(gè)異于點(diǎn)O的定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，4-2a），又因?yàn)閯?dòng)圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以動(dòng)圓的半徑r=

5(a- 8 5 )2+ 16 5

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得半徑，進(jìn)而得到圓的方程．
（2）設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），可得x₀²-2ax₀+y₀²-2（4-2a）y₀=0，即a（4y₀-2x₀）+（x₀²+y₀²-8y₀）=0，利用過定點(diǎn)的知識(shí)可得：4y₀-2x₀=0且x₀²+y₀²-8y₀=0，進(jìn)而得到定點(diǎn)．

解答：解：（1）因?yàn)閳A心C在直線l：2x+y=4上，
所以設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，4-2a）．
又因?yàn)閯?dòng)圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
所以動(dòng)圓的半徑r=

5(a- 8 5 )2+ 16 5

，所以半徑r的最小值為

4 5

5

．
并且此時(shí)圓的方程為：（x-

8

5

）²+（y-

4

5

）²=

16

5

．
（2）設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），因?yàn)閳A的方程為：（x-a）²+[y-（4-2a）]²=a²+（4-2a）²
所以x₀²-2ax₀+y₀²-2（4-2a）y₀=0，
即a（4y₀-2x₀）+（x₀²+y₀²-8y₀）=0，
因?yàn)楫?dāng)a為變量時(shí)，x₀，y₀卻能使該等式恒成立，
所以只可能4y₀-2x₀=0且x₀²+y₀²-8y₀=0
即解方程組可得：y₀=

8

5

，x₀=

16

5

或者y₀=0，x₀=0（舍去）
所以圓C恒過一定點(diǎn)（

16

5

，

8

5

）．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線或者圓過定點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)．