Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且圓心C在直線l：2x+y=4上．
（1）求半徑最小時(shí)的圓C的方程；
（2）求證：動(dòng)圓C恒過(guò)一個(gè)異于點(diǎn)O的定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，4-2a），又因?yàn)閯?dòng)圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以動(dòng)圓的半徑r=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而得到圓的方程．
（2）設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），可得x²-2ax+y²-2（4-2a）y=0，即a（4y-2x）+（x²+y²-8y）=0，利用過(guò)定點(diǎn)的知識(shí)可得：4y-2x=0且x²+y²-8y=0，進(jìn)而得到定點(diǎn)．
解答：解：（1）因?yàn)閳A心C在直線l：2x+y=4上，
所以設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a，4-2a）．
又因?yàn)閯?dòng)圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
所以動(dòng)圓的半徑r=，所以半徑r的最小值為．
并且此時(shí)圓的方程為：（x-）²-（y-）²=．
（2）設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），因?yàn)閳A的方程為：（x-a）²+[y-（4-2a）]²=a²+（4-2a）²
所以x²-2ax+y²-2（4-2a）y=0，
即a（4y-2x）+（x²+y²-8y）=0，
因?yàn)楫?dāng)a為變量時(shí)，x，y卻能使該等式恒成立，
所以只可能4y-2x=0且x²+y²-8y=0
即解方程組可得：y=，x=或者y=0，x=0（舍去）
所以圓C恒過(guò)一定點(diǎn)（，）．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線或者圓過(guò)定點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)．