Question

 

對于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)、,使得 對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “線性數(shù)列”．

（I）如果，，，那么數(shù)列、是否為“線性數(shù)列”？

若是，分別指出它們對應(yīng)的實(shí)常數(shù)、；若不是，請說明理由；

（II）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．

① 求數(shù)列前項的和；

② 是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是“線性數(shù)列”，如果存在，求出所有的值；如果不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）因為則有_，

故數(shù)列是“線性數(shù)列”， 對應(yīng)的實(shí)常數(shù)、分別為_.

 因為，則有 ,         

故數(shù)列是“線性數(shù)列”， 對應(yīng)的實(shí)常數(shù)、分別為………4分

（II）（1）因為  則有， ， 

故數(shù)列前項的和++++

 ……………8分

注：本題也可以先求出，然后求和.

（2）假設(shè)數(shù)列是“線性數(shù)列”， 則存在實(shí)常數(shù)

使得對于任意都成立，于是對于任意都成立，因此對于任意都成立，

而，

則有對于任意都成立，可以得到.

①當(dāng)時，，，，經(jīng)檢驗滿足條件.

②當(dāng) 時，，，經(jīng)檢驗滿足條件.

因此當(dāng)且僅當(dāng)或，時，數(shù)列也是“線性數(shù)列”.

對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為, 或．    …………………………………13分