Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，點(diǎn)E在棱CD上，且CE=

1

3

CD．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值為

30

6

，求棱AB的長．

Answer 1

分析：（1）利用長方體和正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，若DP∥平面AB₁E，設(shè)

n

為平面AB₁E的法向量?

DP

•

n

=0，且

DP

?平面AB₁E，求出即可；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論即可得到此二面角的兩個(gè)面的法向量，進(jìn)而利用法向量的夾角即可得到二面角的余弦值，解出即可．

解答：（1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵A₁B₁⊥面A₁D₁DA，
∴A₁B₁⊥AD₁．   
在矩形A₁D₁DA中，∵AA₁=AD=2，
∴AD₁⊥A₁D．
又A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D₁為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D₁-xyz．
依題意可知，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），
設(shè)AB的長為x，則C₁（0，x，0），B₁（2，x，0），C(0，x，2)，E(0，

2

3

x，2)．
假設(shè)在棱AA₁上存在點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE．
設(shè)點(diǎn)P（2，0，y），則

DP

=(2，0，y-2)，

AP

=(0，0，y-2)．
易知

B1E

=(-2，-

1

3

x，2)，

AE

=(-2，

2

3

x，0)．
設(shè)平面B₁AE的一個(gè)法向量為n=（a，b，c），
則

B1E • n =0 AE • n =0

，即

-2a- 1 3 xb+2c=0 -2a+ 2 3 xb=0

．
令b=3得，a=x，c=

3

2

x，∴

n

=(x，3，

3

2

x)．
∵DP∥平面B₁AE，∴

DP

•

n

=0且DP?平面B₁AE．
得2x+(y-2)•

3

2

x=0，∴y=

2

3

．
∴

AP

=(0，0，-

4

3

)，|

AP

|=

4

3

，
∴AP的長為

4

3

．
（3）∵CD∥A₁B₁，且點(diǎn)E∈CD，
∴平面A₁B₁E、平面A₁B₁D與面A₁B₁CD是同一個(gè)平面．
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁D，
∴

D1A

=(2，0，2)是平面A₁B₁E的一個(gè)法向量．  
由（2）可知，平面B₁AE的一個(gè)法向量為n=(x，3，

3

2

x)．
∵二面角A-B₁E-A₁的余弦值為

30

6

，
∴cosθ=

30

6

=

| D1A • n |

| D1A | | n |

=

|2x+3x|

2 2 • x2+9+( 3 2 x)2

，解得x=3

2

．
故AB的長為3

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握長方體和正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系的方法求出平面的法向量并利用法向量及其數(shù)量積即可求出線面角、二面角是解題的關(guān)鍵．