Question

設(shè)f（x）=lg（ax²-2x+a），
（1）若f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域是實數(shù)集，說明對任意實數(shù)x都有ax²-2x+a＞0成立，則該二次三項式對應(yīng)的二次函數(shù)應(yīng)開口向上，且圖象與x軸無交點，由二次項系數(shù)大于0，且判別式小于0聯(lián)立不等式組求解a的取值范圍；
（2）只有內(nèi)層函數(shù)（二次函數(shù)）對應(yīng)的圖象開口向上，且與x軸有交點，真數(shù)才能取到大于0的所有實數(shù)，由此列式求解a的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域為R，
∴對任意x∈R都有ax²-2x+a＞0恒成立，
則

a＞0 (-2)2-4a2＜0

，解得：a＞1．
∴使f（x）的定義域為R的實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域為R，
∴ax²-2x+a能取到大于0的所有實數(shù)，
則

a＞0 (-2)2-4a2≥0

，解得：0＜a≤1．
∴使f（x）的值域為R的實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域問題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．