Question

已知冪函數(shù)f(x)=x

1

m2+m

(m∈N*)．
（1）試求該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
（2）若該函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn)(2，

2

)，求m的值并求滿足條件f（2-a）＞f（a-1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將指數(shù)因式分解，據(jù)指數(shù)的形式得到定義域，利用冪函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)性
（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入列出方程解得m，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉法則f，列出不等式解得，注意定義域．

解答：解：（1）∵m²+m=m（m+1），m∈N^*
∴m²+m為偶數(shù)，
∴x≥0，所以函數(shù)定義域?yàn)閇0，+∞）
由冪函數(shù)的性質(zhì)知：其函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）依題意得：

2

=2

1

m2+m

，∴

1

m2+m

=

1

2

，∴m=1（m∈N^*）
由已知得：

2-a＞a-1 a-1≥0

，∴1≤a＜

3

2

，
故a的取值范圍為：[1，

3

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用冪函數(shù)的性質(zhì)得到單調(diào)性，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，利用單調(diào)性解抽象不等式．