Question

（2011•松江區(qū)二模）已知函數(shù)①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e^x；④f（x）=e^cosx．其中對于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x₁都存在唯一個(gè)x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)是

③

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，②④不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．因?yàn)閷τ诤瘮?shù)f（x）=lnx當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到結(jié)果．

解答：解：由題設(shè)知，對于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，
存在定義域內(nèi)的唯一一個(gè)自變量x₂，
使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，②④不是單調(diào)函數(shù)，不合題意．
因?yàn)閷τ诤瘮?shù)f（x）=lnx當(dāng)x₁=1時(shí)，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
∴由此可知，滿足條件的函數(shù)有③．
故答案為：③．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的特殊點(diǎn)的值，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的單調(diào)性，并且注意函數(shù)自變量特殊值的性質(zhì)，本題是一個(gè)中檔題目．