Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

6

，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論；
（II）求二面角P-AC-E的平面角的大小．

Answer 1

分析：（I）F是棱PC的中點(diǎn)，連接BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，證明BF∥平面AEC；
（II）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，∠EHG即為EAC與DAC為面的二面角的平面角，利用二面角P-AC-E的平面角的大小為EAC與DAC為面的二面角的平面角的余角
，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC，證明如下，
取PE的中點(diǎn)M，連接FM，則FM∥CE．①
由EM=

1

2

PE=ED，知E是MD的中點(diǎn)．
連接BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn)．
所以BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．
（II）作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，∠EHG即為EAC與DAC為面的二面角的平面角．
又PE：ED=2：1，所以EG=

2

3

，AG=

4

3

，
GH=AGsin60°=

2 3

3

．
從而tanθ=

EG

GH

=

3

3

，∴θ=30°．
∵PA=AC=2，PB=PD=

6

，
∴PA⊥AB，PA⊥AD
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴平面PAC⊥平面ABCD
∴二面角P-AC-E的平面角的大小為EAC與DAC為面的二面角的平面角的余角
∴二面角P-AC-E的平面角的大小為60°

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．