Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率為

1

3

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓左頂點(diǎn)作直線l，若動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離比它到直線l的距離小4，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率為

1

3

，求出橢圓的幾何量，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）法一：利用求軌跡方程的一般方法求解；法二：利用拋物線的定義求解．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a，半短軸長(zhǎng)為b，半焦距為c．
由已知，2a=12，所以a=6．（2分）
又

c

a

=

1

3

，即a=3c，
所以3c=6，即c=2．（4分）
于是b²=a²-c²=36-4=32．
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

36

+

y2

32

=1．（6分）
（2）法一：因?yàn)閍=6，所以直線l的方程為x=-6，
又c=2，所以右焦點(diǎn)為F₂（2，0）
過(guò)點(diǎn)M作直線l的垂線，垂足為H，由題設(shè)，|MF₂|=|MH|-4．
設(shè)點(diǎn)M（x，y），則

(x-2)2+y2

=(x+6)-4=x+2．（8分）
兩邊平方，得（x-2）²+y²=（x+2）²，即y²=8x．（10分）
故點(diǎn)M的軌跡方程是y²=8x．（12分）
法二：因?yàn)閍=6，c=2，所以a-c=4，從而橢圓左焦點(diǎn)F₁到直線l的距離為4．（8分）
由題設(shè)，動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離與它到直線x=-2的距離相等，
所以點(diǎn)M的軌跡是以右焦點(diǎn)為F₂（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線．（10分）
顯然拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且p=|F₁F₂|=4，
故點(diǎn)M的軌跡方程是y²=8x．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．