Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是奇函數(shù)，求的值；

（2）若，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍；

（3）對(duì)于任意的，總有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的判斷方法，可得結(jié)果

（2）利用換元法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)可得，然后根據(jù)討論對(duì)稱軸與的位置，可得結(jié)果.

（3）根據(jù)題意等價(jià)轉(zhuǎn)換為，結(jié)合分類討論的方法，討論與區(qū)間的位置關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出最值，可得結(jié)果.

（1），

由對(duì)任意恒成立，所以.

（2）依題意：

，

令，

則，

當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，

，，

當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，

，，則，

綜上：.

（3）法1：取，，

可得，，

所以，.

函數(shù)在區(qū)間上的最小值

最大值為在或，所以

，

解得：.

法2：分四種情況進(jìn)行討論，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

在上單調(diào)增，

，，，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

在上單調(diào)減，

，，，

當(dāng)，即時(shí)

，，

，

得，∴.

當(dāng)，即時(shí)

，，

，

得，∴.

綜上，.