Question

已知半圓x²+y²=4（y≥0），動(dòng)圓與此半圓相切且與x軸相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡，并畫(huà)出其軌跡圖形．
（2）是否存在斜率為

1

3

的直線l，它與（1）中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A、B、C、D四點(diǎn)，且滿(mǎn)足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)，且過(guò)圓心作x軸的垂線MN，垂足為N，當(dāng)兩圓外切時(shí)，根據(jù)兩圓外切時(shí)兩圓心的距離等于兩半徑相加，可得|MO|等于|MN|+2，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得動(dòng)圓的軌跡方程；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，根據(jù)兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得，|MO|等于2-|MN|，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得動(dòng)圓的軌跡方程，分別根據(jù)求出的軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的圖象即可；
（2）根據(jù)已知直線的斜率設(shè)出直線的方程，聯(lián)立所設(shè)直線與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)|AD=2|BC|，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求出點(diǎn)A和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，根據(jù)動(dòng)圓方程軌跡方程可得曲線橫坐標(biāo)范圍，可得這樣的直線不存在．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），做MN⊥x軸交x軸于N．
若兩圓外切，|MO|=|MN|+2，
所以

x2+y2

=y+2，
化簡(jiǎn)得x²=4（y+1）（y＞0）；
若兩圓內(nèi)切，|MO|=2-|MN|，
所以

x2+y2

=2-y，
化簡(jiǎn)得x²=-4（y-1）（y＞0）
綜上，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x²=4（y+1）（y＞0）及x²=-4（y-1）（y＞0），
其圖象是兩條拋物線位于x軸上方的部分，作簡(jiǎn)圖如圖：


（2）設(shè)直線l存在其方程可設(shè)為y=

1

3

x+b，
依題意，它與曲線x²=4（y+1）（y＞0）交于A，D，
與曲線x²=-4（y-1）（y＞0）交于B，C
由

y= 1 3 x+b x2=4(y+1)

與

y= 1 3 x+b x2=-4(y-1)

得3x²-4x-12b-12=0及3x²+4x+12b-12=0，|AD|=2|BC|，|AD|=

1+( 1 3 )2

|xD-xA|，|BC|=

1+( 1 3 )2

|xB-xC|
∴|x_D-x_A|=2|x_B-x_C|
即(

4

3

)2+4

(12b+12)

3

=4[(-

4

3

)2-4

(12b-12)

3

]
解得b=

2

3

，
將b=

2

3

代入方程3x²-4x-12b-12=0
得xA=-2，xD=

10

3

因?yàn)榍�線x²=4（y+1）中橫坐標(biāo)范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以這樣的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系所滿(mǎn)足的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．