Question

（2012•河南模擬）當前人們普遍認為拓展訓(xùn)練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓(xùn)練，某大學生拓展訓(xùn)練中心著眼于大學生的實際情況，精心地設(shè)計了三個相互獨立的挑戰(zhàn)極限項目，并設(shè)置了如下計分辦法：

項目	甲	乙	丙
挑戰(zhàn)成功得分	10	30	60
挑戰(zhàn)失敗得分	0	0	0

據(jù)調(diào)查，大學生挑戰(zhàn)甲項目的成功概率為

4

5

，挑戰(zhàn)乙項目的成功概率為

3

4

，挑戰(zhàn)丙項目的成功概率為

1

2

．
（1）求某同學三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率；
（2）記該同學挑戰(zhàn)三個項目后所得分數(shù)為X，求X的分布列并預(yù)測該同學所得分數(shù)的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）利用間接法能夠求出甲乙丙這三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率．
（2）由題意，X的可能取值為0，10，30，40，60，70，90，100，先分別求出P（X=0），P（X=10），P（X=30），P（X=40），P（X=60），P（X=70），P（X=90）和P（X=100），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答：解：（1）甲乙丙這三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率：
P=1-（1-

4

5

）（1-

3

4

）（1-

1

2

）=1-

1

40

=

39

40

．
（2）由題意，X的可能取值為0，10，30，40，60，70，90，100，
P（X=0）=

1

5

•

1

4

•

1

2

=

1

40

，
P（X=10）=

4

5

•

1

4

•

1

2

=

1

10

，
P（X=30）=

1

5

•

3

4

•

1

2

=

3

40

，
P（X=40）=

4

5

•

3

4

•

1

2

=

3

10

，
P（X=60）=

1

5

•

1

4

•

1

2

=

1

40

，
P（X=70）=

4

5

•

1

4

•

1

2

=

1

10

，
P（X=90）=

1

5

•

3

4

•

1

2

=

3

40

，
P（X=100）=

4

5

•

3

4

•

1

2

=

3

10

，
∴X的分布列為：

X	0	10	30	40	60	70	90	100
P	1 40	1 10	3 40	3 10	1 40	1 10	3 40	3 10

∴E（X）=0×

1

40

+10×

1

10

+30×

3

40

+40×

3

10

+60×

1

40

+70×

1

10

+90×

3

40

+100×

3

10

=60.5．
即該同學所得分數(shù)的數(shù)學期望為60.5．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識和排列組合知識的合理運用．