Question

【題目】已知拋物線：（），過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，若過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系，求出中點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求解；

（2）由（1）得，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去，得到，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為定值，再結(jié)合拋物線方程，可得橫坐標(biāo)乘積為定值，進(jìn)而證明結(jié)論.

（1）直線的方程為，

設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

將代入，

得，由，

知，即.

因此拋物線的方程為；

（2）由于的坐標(biāo)為， 的斜率不為0，,

設(shè)的方程為，

，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.

聯(lián)立方程，消去，

得恒成立，

故，由，，

故，

所以.