Question

（2013•韶關(guān)一模）已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，n∈N^*，其導(dǎo)函數(shù)記為f′_n（x），且滿足．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x），求g（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）試求關(guān)于x的方程

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

在區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得g′（x），令g′（x）=0，得x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，分n為正偶數(shù)與n為正奇數(shù)討論，隨x的變化，y′與y的變化情況即可求g（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）依題意，可求得x=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，對(duì)于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2，于是x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

＜0，從而可求得0＜x＜1，于是在區(qū)間（0，1）上方程只有唯一實(shí)根．

解答：解：（Ⅰ）∵y=g（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
則y′=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y′=0，得x₁=0，x₂=

2n-1

3n-1

，x₃=1，且x₁＜x₂＜x₃，
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，隨x的變化，y′與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值		極小值

所以當(dāng)x=

2n-1

3n-1

時(shí)，y_極大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；當(dāng)x=1時(shí)，y極小=0．
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2n-1 3n-1 ）	2n-1 3n-1	（ 2n-1 3n-1 ，1）		（1，+∞）
y′	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值

所以x=

2n-1

3n-1

時(shí)，y_極大=

(2n-1)2n-1•nn

(3n-1)3n-1

；無(wú)極小值．
（II）

f′n(1+x)

f′n+1(1+x)

=

2n-1

2n+1-1

，即

n(1+x)n-1

(n+1)(1+x)n

=

2n-1

2n+1-1

（x≠-1），
所以方程為

n

(n+1)

•

1

1+x

=

2n-1

2n+1-1

（x≠-1），
∴x=

n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)

(n+1)(2n-1)

=

1+(n-1)2n

(n+1)(2n-1)

＞0，
又x-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，而對(duì)于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二項(xiàng)式定理可證），
∴x＜1．
綜上，對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，方程只有唯一實(shí)根，且總在區(qū)間（0，1）內(nèi)，所以原方程在區(qū)間（0，1）上有唯一實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，（Ⅰ）中對(duì)n分n為正偶數(shù)與n為正奇數(shù)討論，隨x的變化，y′與y的變化情況求g（x）的值是難點(diǎn)，考查推理分析與復(fù)雜的運(yùn)算能力，屬于難題．