Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的中點，AB=BC=AC=4，PA=PC=2

2

．
求證：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO；
（3）求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO．
（2）由線段長度間的關系證明FG∥QO，進而證得FG∥平面EBO．
（3）先確定棱錐的高BO，求出BO的大小，然后求出底面PEC的大小，即可求解所求棱錐的體積．

解答：（1）證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形． 因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，
因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因為PA?平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC內，O，E為所在邊的中點，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）證明：連AF交BE于Q，連QO．因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，
所以

AO

OG

=2． 又 Q是△PAB的重心．
于是，

AG

GF

=2=

AO

OG

，所以，F(xiàn)G∥QO．
因為FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以，F(xiàn)G∥平面EBO．
（3）解：由（1）可知PA⊥平面EBO，所以PE⊥BO，
因為O是線段AC的中點，AB=BC=AC=4，所以BO⊥AC，
所以BO⊥平面PEC，BO是棱錐的高，BO=2

3

．
S_△PEO=

1

2

S_△PAC=

1

2

×

1

2

×4×

(2 2 )2-22

=2．
所以三棱錐E-PBC的體積V=

1

3

×2×2

3

=

4 3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，轉化思想與計算能力．