Question

（2008•湖北模擬）箱子中裝有大小相同的2個紅球、8個黑球，每次從中摸取1個球．每個球被取到可能性相同．
（1）若每次取球后不放回，求取出3個球中至少有1個紅球的概率．
（2）若每次取出后再放回，求第一次取出紅球時，已取球次數(shù)的分布及數(shù)學期望．（要求寫出期望過程）

Answer 1

分析：（1）取出3個球中至少有1個紅球分兩類：取出3個球中只有1個紅球和取出3個球中有2個紅球，利用古典概型的概率公式求出取出3個球中至少有1個紅球的概率．
（2）利用相互獨立事件的概率乘法公式求出隨機變量取每一個值的概率值，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出取球次數(shù)的分布及數(shù)學期望．

解答：解：（1）取出3個球中至少有1個紅球的概率為：

C 1 2 C 2 8 + C 2 2 C 1 8

C 3 10

=

8

15

（4分）
（2）設取球次數(shù)為ξ
∵P(ξ=k)=(

4

5

)k-1(

1

5

)
所以ξ的分布列為：

?	1	2	3	…	n	…
P	1 5	4 5 × 1 5	( 4 5 )2 1 5	…	( 4 5 )n-1 1 5	…

Eξ=1×

1

5

+2×

4

5

×

1

5

+3×(

4

5

)2×

1

5

+…+n(

4

5

)n-1(

1

5

)+…

4

5

Eξ=1×

4

5

×

1

5

+2×(

4

5

)2×

1

5

+…+(n-1)(

4

5

)n-1(

1

5

)+n(

4

5

)n(

1

5

)+…
∴

1

5

Eξ=

1

5

+

4

5

×

1

5

+(

4

5

)2×

1

5

+…+(

4

5

)n-1(

1

5

)+…
Eξ=1+

4

5

+(

4

5

)2+…+(

4

5

)n-1+…=

1

1- 4 5

=5

點評：本題考查相互對立事件的概率乘法公式、隨機變量的分布列的取法及隨機變量的期望公式，是一道中檔題．