Question

已知函數(shù)f(x)=1-

2

x

．
（Ⅰ）若g（x）=f（x）-a為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x）表達(dá)式，得g（x）=1-a-

2

x

，再根據(jù)奇函數(shù)的定義采用比較系數(shù)法即可求出實(shí)數(shù)a的值．
（II）設(shè)0＜x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差、因式分解，得f（x₁）＜f（x₂），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=1-

2

x

∴g（x）=f（x）-a=1-a-

2

x

，…（2分）
∵g（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），即1-a-

2

(-x)

=-(1-a-

2

x

)，
解之得a=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=1-

2

x1

-(1-

2

x2

)=

2(x1-x2)

x1x2

．（9分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，從而

2(x1-x2)

x1x2

＜0，（11分）
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有分式的基本初等函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性質(zhì)．著重考查了函數(shù)的奇偶性的定義和用定義法證明單調(diào)性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．