Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){

bn

an

}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）將已知等式用等差數(shù)列{a_n}的首項、公差表示，列出方程組，求出首項、公差；利用等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）利用等比數(shù)列的通項公式求出

bn

an

，進一步求出b_n，根據(jù)數(shù)列{b_n}通項的特點，選擇錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 4×5 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
即a_n=2n+1．
（Ⅱ）

bn

an

=3n-1，
b_n=a_n•3^n-1=（2n+1）•3^n-1
T_n=3+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1
3T_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ
-2T_n=3+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-（2n+1）3ⁿ

=3+2• 3(1-3n-1) 1-3 -(2n+1)3n =-2n•3n

∴T_n=n•3ⁿ．

點評：解決等差、等比兩個特殊數(shù)列的問題，一般將已知條件用基本量表示，列出方程組解決；求數(shù)列的前n項和，一般先求出數(shù)列的通項，根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法．