Question

如圖,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=2,D是AB的中點,E是A₁C₁的中點,F是B₁B的中點,異面直線CF與DE所成的角為90°.

(1)求此三棱柱的高;

(2)求二面角C-AF-B的大小.

Answer 1

解法一:(1)取BC、C₁C的中點分別為H、N,連結(jié)HC₁交FC于M,連結(jié)FN交HC₁于點K,則點K為HC₁的中點,因FN∥HC,則△HMC∽△KMF,因H為BC中點,BC=AB=2,則KN=,

FK=,

    ∴===.

    則HM=HC₁,在Rt△HCC₁中,HC²=HM·HC₁,

    解得HC₁=,C₁C=2.

    (2)連結(jié)CD,易得CD⊥面AA₁B₁B,作DG⊥AF于G,連結(jié)CG,由三垂線定理得CG⊥AF,所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角.

    又在Rt△AFB中,AD=1,BF=1,AF=,

    從而DG=,

    ∴tan∠CGD==.

    故二面角CAFB的大小為arctan.

解法二:(1)取AC中點O,以OB為x軸,OC為y軸,按右手系建立空間坐標系,設棱柱高為h,則C(0,1,0),F(,0,),D(,-,0),E(0,0,h),

    ∴=(3,-1,),=(-,,h).

    由CF⊥DE,得·=--+=0,解得h=2.

    (2)∵平面ABF的法向量為=(-,,0),

    設平面ACF的法向量為n=(x,y,z),由n⊥及n⊥,得y=0及x-y+z=0.取n=(1,0,-),

    則cos〈n,〉=

    =

    =-.

    ∴二面角C-AF-B的大小為arccos.