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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a,E是BB1的中點.
          (1)求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值;
          (2)求證:平面AEC1⊥平面ACC1A1;
          (3)求點C1到平面AEC的距離.
          分析:(1)由題意取A1B1中點M,再證明C1M⊥平面A1ABB1,即∠C1BM是所求的角,在Rt△BMC1中求解;
          (2)取A1C1的中點D1,AC1的中點F,再證D1FEB1是平行四邊形和B1D1⊥平面ACC1A1,即得EF⊥平面ACC1A1,故證出面面垂直;
          (3)由(2)知EF是三棱錐E-ACC1的高,求出EF的長,再利用換低公式和體積相等求出點C1到平面AEC的距離.
          解答:(1)解:取A1B1中點M,連接C1M,BM.
          ∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
          ∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1
          ∴C1M⊥平面A1ABB1
          ∴∠C1BM為直線C1B與平面A1ABB1所成的角.
          在Rt△BMC1中,C1M=
          3
          2
          a,BC1=
          2
          a,
          ∴sin∠C1BM=
          C1M
          BC1
          =
          6
          4
          精英家教網(wǎng)
          (2)證明:取A1C1的中點D1,AC1的中點F,連接B1D1、EF、D1F.
          則有D1F
          .
          1
          2
          AA1,B1E
          .
          1
          2
          AA1
          ∴D1F
          .
          B1E.
          則四邊形D1FEB1是平行四邊形,
          ∴EF
          .
          B1D1
          由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
          ∴B1D1⊥A1C1
          又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1,且B1D1?平面A1B1C1,
          ∴B1D1⊥平面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1
          ∵EF?平面AEC1,∴平面AEC1⊥平面ACC1A1
          (3)由(2)知,EF⊥平面AC1,則EF是三棱錐E-ACC1的高.
          由三棱柱各棱長都等于a,則EC=AE=EC1=
          5
          2
          a,AC1=
          2
          a.
          ∴EF=
          AE2-AF2
          =
          3
          2
          a.
          ∵V_C1-AEC=V_E-ACC1,設(shè)三棱錐V_C1-AEC的高為h,則h為點C1到平面AEC的距離.
          1
          3
          S△AEC•h=
          1
          3
          S_△ACC1•EF,
          1
          3
          ×
          1
          2
          a2h=
          1
          3
          ×
          1
          2
          a2
          3
          2
          a.
          ∴h=
          3
          2
          a,即點C1到平面AEC的距離是
          3
          2
          a.
          點評:本題考查了用面面垂直的性質(zhì)定理作出線面角再來求解,用面面垂直的判定定理證明面面垂直,求點到面的距離可用體積相等和換底求解;考查了轉(zhuǎn)化思想和推理論證能力.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點,則EF的長是(  )
          A、2
          B、
          3
          C、
          5
          D、
          7

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
          (Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
          (Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
          (Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
          (Ⅱ)設(shè)點O為AB1上的動點,當(dāng)OD∥平面ABC時,求
          AOOB1
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點.
          (Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
          (Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大。

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