Question

【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是．則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：是函數(shù)=的一個(gè)“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（R，）有“和諧區(qū)間” ，當(dāng)變化時(shí)，求出的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用和諧區(qū)間的定義推證；(2)借助題設(shè)運(yùn)用和諧區(qū)間的定義推證；(3)運(yùn)用和諧區(qū)間的定義將其轉(zhuǎn)化為二次方程有根的問題探求.

試題解析：

（1）因在區(qū)間上單調(diào)遞增． 又因?yàn)?/span>，所以值域?yàn)?/span>，

所以區(qū)間是的一個(gè)“和諧區(qū)間”．

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．因，或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增． 若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故是方程的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

因無實(shí)數(shù)根， 故函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．因，或，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故是方程，即的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

∵，∴同號(hào)，只須,并解得不等式的解集為或，

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間” ， ∵，

∴當(dāng)時(shí)，取最大值