Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）若，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）當(dāng)a＝1，求得函數(shù)g（x）的解析式，求導(dǎo)，g′（x）＜0和g′（x）＞0，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間，g′（x）＝0，x，由函數(shù)的單調(diào)性可知x為函數(shù)g（x）的極小值；

（2）求得f′（x），將原不等式轉(zhuǎn)化成，2lna≤x﹣2lnx﹣1在x＞0上恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，h（x）＝x﹣2lnx﹣1，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得h（x）有最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）由（1）可知，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知＜＜1，可知g（）＞g（）＝ln，則ln+ln＜（2）ln（），由基本不等式的關(guān)系可知24，ln（）＜0，即ln+ln＜4ln（），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，g(x)==xln x，∴g'(x)=1+ln x.令g'(x)=0得x=.

當(dāng)x∈時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=時(shí)，g(x)取得極小值-.

(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x，

≤1，即2ln x+2ln a+1≤x，

所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立，

設(shè)u(x)=x-2ln x-1，則u'(x)=1-.

令u'(x)=0，得x=2.

當(dāng)0<x<2時(shí)，u'(x)<0，u(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，u'(x)>0，u(x)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=2時(shí)，u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.

∴2ln a≤1-2ln 2，解得0<a≤.∴a的取值范圍是.

(3)由(1)知g(x)=xln x在內(nèi)是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

∵<<<1，∴g()=()ln()>g()=ln ，

即ln x1<ln().

同理ln <ln().

∴ln +ln<ln(x1+x2)=ln().

又∵2+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)“=”時(shí)，取等號.

又，∈，<1，ln()<0，

∴ln()≤4ln()，

∴ln+ln＜4ln（）.∴.