Question

已知函數(shù)h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)F（x）=h（x）-φ（x）的零點個數(shù)并證明你的結(jié)論；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，φ（x）圖象不可能在直線y=2

e

x-e的上方．

Answer 1

分析：第（1）問判斷函數(shù)的零點個數(shù)可通過函數(shù)的圖象來解決，借助導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值得到函數(shù)的圖象，從而解決問題；第（2）問構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值得到函數(shù)的圖象恒在x軸上方，問題得以解決．

解答：解：（1）函數(shù)F（x）只有一個零點．
證明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

．
當(dāng)x=

e

時，F(xiàn)'（x）=0．
∵當(dāng)0＜x＜

e

時，F(xiàn)'（x）＜0，此時函數(shù)F（x）遞減；
當(dāng)x＞

e

時，F(xiàn)'（x）＞0，此時函數(shù)F（x）遞增；
∴當(dāng)x=

e

時，F(xiàn)（x）取極小值，其極小值為0．
所以函數(shù)F（x）只有一個零點．
（2）證明：令G（x）=φ（x）-2

e

x+e=2elnx-2

e

x+e，
則G'（x）=

2e

x

-2

e

=

2 e ( e -x)

x

，當(dāng)x=

e

時，G'（x）=0．
∵當(dāng)0＜x＜

e

時，G'（x）＞0，此時函數(shù)G（x）遞增；
當(dāng)x＞

e

時，G'（x）＜0，此時函數(shù)G（x）遞減；
∴當(dāng)x=

e

時，G（x）取極大值，其極大值為0．
從而G（x）=2elnx-2

e

x+e≤0，
即?（x）≤2

e

x-e（x＞0）恒成立，
所以當(dāng)x＞0時，φ（x）圖象不可能在直線y=2

e

x-e的上方．

點評：構(gòu)造函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵！能借助導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值從而得到函數(shù)的圖象．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、導(dǎo)數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．