Question

已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線(xiàn)與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線(xiàn)與函數(shù)的y=log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn)．
（1）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線(xiàn)上；
（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，解出C、D的坐標(biāo)，求出OC、OD的斜率相等則三點(diǎn)共線(xiàn)．
（2）BC平行x軸，B、C縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合（1）即可求出A的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂由題設(shè)知，x₁＞1，x₂＞1．則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為log₈x₁、log₈x₂．
因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)上，所以，

log8x1

x1

=

log8x2

x2

點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于log₂x₁=

log8x1

log82

=3log₈x₁，
log₂x₂=

log8x2

log82

=3log₈x₂
OC的斜率k1=

log2x1

x1

=

3log8x1

x1

，
OD的斜率k2=

log2x2

x2

=

3log8x2

x2

．
由此可知，k₁=k₂，
即O、C、D在同一條直線(xiàn)上．
（Ⅱ）由于BC平行于x軸知
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=x₁³．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁³=3x₁．
考慮x₁＞1解得x₁=

3

．
于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，log₈

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力．