Question

已知冪函數(shù)f(x)=xm2-4m（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)
（1）求m的值和函數(shù)f（x）的解析式
（2）解關(guān)于x的不等式f（x+2）＜f（1-2x）．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性通過m∈Z，求出m的值，寫出函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的定義域，把不等式轉(zhuǎn)化為同解不等式，即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）冪函數(shù)f(x)=xm2-4m（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)，
所以，m²-4m＜0，解得0＜m＜4，
因為m∈Z，所以m=2；
函數(shù)的解析式為：f（x）=x^-4．
（2）不等式f（x+2）＜f（1-2x），函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)，
所以|1-2x|＜|x+2|，解得x∈(-

1

3

，3)，
又因為1-2x≠0，x+2≠0
所以x∈(-

1

3

，

1

2

) ∪(

1

2

，3)，

點評：本題是中檔題，考查冪函數(shù)的基本性質(zhì)，考查不等式的解法，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．