Question

等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，數(shù)列{a_n}與{b_n}且滿足關(guān)系式（n∈N^*），奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時，．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若q＞0，且，求證p+q＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義易得f（0）=0，當(dāng)x＞0時，據(jù) f（x）=-f（-x）求出解析式，即得f（x）在R上的解析式．
（2）根據(jù)條件求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式 b_n=2n-1，把 和
相減可得a_n=3n-2．
（3）根據(jù)f（x） 的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0，即p≥1； 由于a_n＞0，及 ，可得 q³＞1，即q＞1，從而得到 p+q＞2．
解答：解：（1）當(dāng)x=0時，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
當(dāng)x＞0時，，
所以，f（x）=．
（2）當(dāng)n=1時，a₁=b₁=1；由題意可得 b_n=1+（n-1）2=2n-1．
當(dāng)n≥2時，由于，
所以，
相減計(jì)算得a_n=3n-2，
檢驗(yàn)得a_n=3n-2（n∈N^*）．
（3）由于f（x）= 的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0，
所以 =．

由于，所以q³＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．