Question

已知點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（-6，0），過(guò)點(diǎn)B的直線l與過(guò)點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k₂，
（1）如果k₁•k₂=-

4

9

，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果k₁•k₂=

4

9

，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k₁•k₂=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結(jié)論？（不需要證明所得結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=-

4

9

，化簡(jiǎn)方程，即可求得結(jié)論；
（2）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=

4

9

，化簡(jiǎn)方程，即可求得結(jié)論；
（3）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=k，化簡(jiǎn)方程，對(duì)參數(shù)討論，即可求得結(jié)論；

解答：解：（1）直線l過(guò)點(diǎn)B（6，0），斜率為k₁，則其直線方程為：y-0=k₁（x-6），所以，k₁=

y

x-6

同理，k₂=

y

x+6

∵k₁•k₂=-

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，
∴9y²=-4（x²-36）
∴

x2

36

+

y2

16

=1，它表示橢圓，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2

5

，0）；
（2）∵k₁•k₂=

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=

4

9

，∴9y²=4（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

16

=1，它表示雙曲線，離心率為

13

3

；
（3）∵k₁•k₂=k，∴

y

x-6

•

y

x+6

=k，∴y²=k（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

36k

=1
當(dāng)k＞0時(shí)，表示雙曲線； 當(dāng)k＜0且k≠-1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)k=-1時(shí)，表示圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．