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        1. (理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且與拋物線交于兩點A、B.
          (1)若p=2,求|AB|的值;
          (2)將直線AB按向量平移得直線m,N是m上的動點,求的最小值.
          (3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動點,是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.
          【答案】分析:(1)由已知條件,得到拋物線的方程,再根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x1+x2+p=4p,
          (2)設(shè)直線l的方程,將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量坐標運算,求得 的以N點坐標表示的函數(shù)式,利用二次函數(shù)求最值的方法,可求得所求的最小值.
          (3)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,再利用l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值,求出p,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
          解答:解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),p=2時,直線AB:y=x-1,代入y2=4x中
          可得:x2-6x+1=0(2分)
          則x1+x2=6,由定義可得:|AB|=x1+x2+p=8.(4分)
          (2)直線AB:,代入y2=2px(p>0)中,可得:
          則x1+x2=3p,,設(shè),

          (2分)
          (4分)

          當x=p時,的最小值為.                            (6分)
          (3)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,
          設(shè)CD的中點為O',l與以CD為直徑的圓相交于點P、Q,設(shè)PQ的中點為H,
          則O'H⊥PQ,O'點的坐標為

          ,(2分)
          ∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2==
          ∴|PQ|2=(2|PH|)2=.                    (5分)
          ,得,此時|PQ|=p為定值,
          故滿足條件的直線l存在,其方程為,即拋物線的通徑所在的直線. (7分)
          點評:此題考查拋物線的定義,及向量坐標運算等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•閔行區(qū)二模)(理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且與拋物線交于兩點A、B.
          (1)若p=2,求|AB|的值;
          (2)將直線AB按向量
          a
          =(-p,0)
          平移得直線m,N是m上的動點,求
          NA
          NB
          的最小值.
          (3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動點,是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•青浦區(qū)二模)(理)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點.
          (1)設(shè)過點A且斜率為-1的直線l1,與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P(4,4),求直線AB的斜率;
          (2)問題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素:已知圓錐曲線Γ,過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點;結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請你對問題(1)作適當推廣,并給予解答;
          (3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點Q(x0,0).若x0=5,試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度,并求出中點的縱坐標的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源:閔行區(qū)二模 題型:解答題

          (理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且與拋物線交于兩點A、B.
          (1)若p=2,求|AB|的值;
          (2)將直線AB按向量
          a
          =(-p,0)
          平移得直線m,N是m上的動點,求
          NA
          NB
          的最小值.
          (3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動點,是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2009年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

          (理)斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,且與拋物線交于兩點A、B.
          (1)若p=2,求|AB|的值;
          (2)將直線AB按向量平移得直線m,N是m上的動點,求的最小值.
          (3)設(shè)C(p,0),D為拋物線y2=2px(p>0)上一動點,是否存在直線l,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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