Question

（理）斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，且與拋物線交于兩點A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移得直線m，N是m上的動點，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）設(shè)C（p，0），D為拋物線y²=2px（p＞0）上一動點，是否存在直線l，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），p=2時，直線AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0（2分）
則x₁+x₂=6，由定義可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．（4分）
（2）直線AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px（p＞0）中，可得：x2-3px+

1

4

p2=0
則x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

，設(shè)N(x0，x0+

p

2

)，
則

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

20

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2（2分）
由x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2，y1+y2=2p（4分）
則

NA

•

NB

=2

x

20

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
當x₀=p時，

NA

•

NB

的最小值為-

7

2

p2．                            （6分）
（3）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，
設(shè)CD的中點為O'，l與以CD為直徑的圓相交于點P、Q，設(shè)PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，O'點的坐標為(

x1+p

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

( x  1 -p)2+y12

=

1

2

x 21 +p2

，
|O′H|=|a-

x1+p

2

|=

1

2

|2a-x1-p|，（2分）
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

21

+p2)-

1

4

(2a-x1-p)2=(a-

p

2

)x1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)x1+a(p-a)]．                    （5分）
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此時|PQ|=p為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為x=

p

2

，即拋物線的通徑所在的直線． （7分）