Question

（2013•徐匯區(qū)一模）某種型號(hào)汽車四個(gè)輪胎半徑相同，均為R=40cm，同側(cè)前后兩輪胎之間的距離（指輪胎中心之間距離）為l=280cm （假定四個(gè)輪胎中心構(gòu)成一個(gè)矩形）．當(dāng)該型號(hào)汽車開上一段上坡路ABC（如圖（1）所示，其中∠ABC=a（

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π＜a＜π），且前輪E已在BC段上時(shí)，后輪中心在F位置；若前輪中心到達(dá)G處時(shí)，后輪中心在H處（假定該汽車能順利駛上該上坡路）．設(shè)前輪中心在E和G處時(shí)與地面的接觸點(diǎn)分別為S和T，且BS=60cm，ST=100cm．（其它因素忽略不計(jì)）
（1）如圖（2）所示，F(xiàn)H和GE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，求證：OE=40cot

α

2

+60（cm）；
（2）當(dāng)a=

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π時(shí)，后輪中心從F處移動(dòng)到H處實(shí)際移動(dòng)了多少厘米？（精確到1cm）

Answer 1

分析：（1）依題意，∠EOH=α，由Rt△OMB

∽

.

Rt△ONB，可求得∠BOM=

α

2

，在Rt△OMB中，可求得OM=40cot

α

2

，從而可證得結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)論得OE=

40

tan75°

+60，設(shè)OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理可求得x，在△OEF中，由余弦定理可求得y，而FH=y-x，從而可得答案．

解答：解：（1）由OE∥BC，OH∥AB，得∠EOH=α，…..（2分）
過點(diǎn)B作BM⊥OE，BN⊥OH，則
Rt△OMB

∽

.

Rt△ONB，從而∠BOM=

α

2

．…..（4分）
在Rt△OMB中，由BM=40得OM=40cot

α

2

，從而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot

α

2

+60．…..（6分）
（2）由（1）結(jié)論得OE=

40

tan75°

+60．
設(shè)OH=x，OF=y，在△OHG中，由余弦定理得，
280²=x²+（

40

tan75°

+60+100）²-2x（

40

tan75°

+60+100）cos150°，
解得x≈118.8cm．…..（9分）
在△OEF中，由余弦定理得，
280²=y²+（

40

tan75°

+60）²-2y（

40

tan75°

+60）cos150°，
解得y≈216.5cm．…..（12分）
所以，F(xiàn)H=y-x≈98cm，
即后輪中心從F處移動(dòng)到H處實(shí)際移動(dòng)了約98cm．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，著重考查分析理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．