Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（-1）^k•2lnx（k∈N^*）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足．
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②若，記S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：S_n＜1．
（3）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得方程在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根？若存在，求出b的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得x＞0，且
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，則，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）在（0，1）是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)；…（5分）
（2）①由已知得，即，而
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，而{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，從而可得． …（7分）
②由，可得
所以=…（10分）
（3）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=x²+2lnx，假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使方程使在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．等價(jià)于方程在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．令，
則，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2]上是減函數(shù)
所以要使方程在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，等價(jià)于
故存在實(shí)數(shù)b，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根． …（13分）
分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)兩種情形，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系求出單調(diào)性．
（2）①由已知得，得到，從而是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
②由，可得，下面利用拆項(xiàng)法求S_n并化簡(jiǎn)，從而得出證明．
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使方程使在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．再利用其等價(jià)于方程在區(qū)間（0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根．求出b的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．