Question

（本題12分）在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點(diǎn)，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點(diǎn)E在SD上，且，如下圖。

（1）求證：平面ABCD；

（2）求二面角E—AC—D的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明思路，為正方形，，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090413053738958183/SYS201309041306033194687619_DA.files/image003.png">，ABBC，所以BC平面SAB，推出SA平面ABCD，

（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，

為正方形，所以在圖中，，

四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090413053738958183/SYS201309041306033194687619_DA.files/image003.png">，ABBC，

所以BC平面SAB，

又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，

（2）解法一： 在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090413053738958183/SYS201309041306033194687619_DA.files/image009.png">，所以EO//SA

所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，

則AC平面EOH，所以ACEH。

所以為二面角E—AC—D的平面角，

在中，

，即二面角E—AC—D的正切值為

解法二：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

 

易知平面ACD的法向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090413053738958183/SYS201309041306033194687619_DA.files/image017.png">

設(shè)平面EAC的法向量為

 

由，所以，可取

所以

所以

所以,即二面角E—AC—D的正切值為

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題解答利用兩種解法作答，各有所長。