Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意x，y∈R總有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-

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，
（1）求證：f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）求證f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）賦值x=y=0，可求得f（0）=0，再賦值y=-x即可得到f（x）+f（-x）=0，利用奇偶性的定義可判斷f（x）奇偶性；
（2）利用單調(diào)性的定義，令x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），利用恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為f（x₂-x₁），利用當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，判斷符號(hào)，即可證得f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）利用f（x+y）=f（x）+f（y），以及f（1）=-

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，即可求得f（3）的值，利用f（x）為奇函數(shù)即可求得f（-3）的值，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求得f（x）在[-3，3]上的最大值，最小值．

解答：解：（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴y=f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）令x₁＜x₂，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），且y=f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），
∵f（1）=-

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，
∴f（3）=3f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
又y=f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-3）=-f（3）=2，
∵y=f（x）是R上的減函數(shù)，
∴y=f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得最大值f（-3）=2，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得最小值f（3）=-2，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為2，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的最值問題．函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論．本題證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是運(yùn)用恒等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化．利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式進(jìn)行求解．屬于中檔題．