【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:的離心率為
,右準(zhǔn)線方程為
.
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第三象限內(nèi)
為橢圓C的上頂點(diǎn),記直線MA,MB的斜率分別為
,
.
若直線l經(jīng)過原點(diǎn),且
,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
若直線l過點(diǎn)
,試探究
是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)①
;②為定值1.
【解析】
(1)由已知列關(guān)于a,c的方程組,求解可得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;
(2)①設(shè)A(x1,y1),M(0,1),由橢圓對稱性可知B(﹣x1,﹣y1),由點(diǎn)A(x1,y1)在橢圓上,得到,求出k1k2,結(jié)合k1﹣k2
,可得k1=1,則直線MA的方程可求,再與橢圓方程聯(lián)立即可求得A的坐標(biāo);
②直線l過點(diǎn)(﹣2,﹣1),設(shè)其方程為y+1=k(x+2),與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到k1+k2是定值.
(1)因為橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線方程為
,
所以,
解得.
又因為.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(2)設(shè),
,
為橢圓的上頂點(diǎn),則
.
①因為直線經(jīng)過原點(diǎn),由橢圓對稱性可知
.
因為點(diǎn)在橢圓上,所以
,即
.
因為,
.
所以.
所以,解得
或
.
因為點(diǎn)在第三象限內(nèi),所以
,所以
,則直線
的方程為
.
聯(lián)結(jié)方程組,解得
或
,所以
.
(解出,
,也可根據(jù)
,
,求出點(diǎn)
的坐標(biāo))
②直線過點(diǎn)
,設(shè)其方程為
.
聯(lián)列方程組,消去
可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16k(k﹣1)=0.
當(dāng)時,由韋達(dá)定理可知
,
.
又因為
.
所以為定值1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】水葫蘆原產(chǎn)于巴西,年作為觀賞植物引入中國. 現(xiàn)在南方一些水域水葫蘆已泛濫成災(zāi)嚴(yán)重影響航道安全和水生動物生長. 某科研團(tuán)隊在某水域放入一定量水葫蘆進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快,經(jīng)過
個月其覆蓋面積為
,經(jīng)過
個月其覆蓋面積為
. 現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積
(單位
)與經(jīng)過時間
個月的關(guān)系有兩個函數(shù)模型
與
可供選擇.
(參考數(shù)據(jù): )
(Ⅰ)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該模型的解析式;
(Ⅱ)求原先投放的水葫蘆的面積并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆面積是當(dāng)初投放的倍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
過點(diǎn)
,且兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
.
(1)求的方程;
(2)若,
,
為
上的三個不同的點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),且
,求證:四邊形
的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:.
若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求切線l的方程;
已知點(diǎn)
為直線
上一點(diǎn),由點(diǎn)P向圓C引一條切線,切點(diǎn)為M,若
,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次高中學(xué)科知識競賽中,對4000名考生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計,可得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中分組的區(qū)間為,
,
,
,
,
,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值,則下列說法中正確的是( )
A.成績在的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000
C.考生競賽成績的平均分約為70D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分
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【題目】某車間有5名工人其中初級工2人,中級工2人,高級工1人現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名.
Ⅰ
求被抽取的2名工人都是初級工的概率;
Ⅱ
求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率.
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【題目】已知是同一平面內(nèi)的三個向量,下列命題中正確的是( )
A.
B.若且
,則
C.兩個非零向量,
,若
,則
與
共線且反向
D.已知,
,且
與
的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
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