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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域R上總有f(x)=-f(x+2),且當(dāng)-1<x≤1時,f(x)=x2+2.
          (1)當(dāng)3<x≤5時,求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)判斷函數(shù)f(x)在(3,5]上的單調(diào)性,并予以證明.
          分析:(1)易證y=f(x)是以4為周期的函數(shù),從而可由-1<x≤1時,f(x)=x2+2⇒當(dāng)3<x≤5時,函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)任取x1,x2∈(3,4],且x1<x2,利用單調(diào)性的定義,作差f(x1)-f(x2)判斷其符號即可.
          解答:解:(1)∵f(x)=-f(x+2),
          ∴f(x+2)=-f(x),
          ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
          ∴y=f(x)是以4為周期的函數(shù),
          又當(dāng)-1<x≤1時,f(x)=x2+2,
          ∴當(dāng)3<x≤5時,-1<x-4≤1,
          ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2;
          (2)∵函數(shù)f(x)=(x-4)2+2的對稱軸是x=4,
          ∴函數(shù)f(x)=(x-4)2+2在(3,4]上單調(diào)遞減,在[4,5]上單調(diào)遞增;
          證明:任取x1,x2∈(3,4],且x1<x2,有
          f(x1)-f(x2
          =[(x1-4)2+2]-[(x2-4)2+2]
          =(x1-x2)(x1+x2-8).
          ∵3<x1<x2≤4,
          ∴x1-x2<0,x1+x2-8<0.
          ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
          故函數(shù)y=f(x)在(3,4]上單調(diào)遞減.
          同理可證函數(shù)在[4,5]上單調(diào)遞增.
          點評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查函數(shù)的周期性與單調(diào)性,考查推理論證能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時,f(x)=
          a
          x
          -x2
          (a為實數(shù)).
          (1)若f(
          1
          2
          )=-2
          ,求a的值;
          (2)當(dāng)x∈(0,1]時,求f(x)的解析式;
          (3)當(dāng)a>2時,試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fK(x)=
          f(x),f(x)≤K
          K,f(x)>K.
          取函數(shù)f(x)=2-|x|.當(dāng)K=
          1
          2
          時,函數(shù)fK(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(  )
          A、(-∞,0)
          B、(0,+∞)
          C、(-∞,-1)
          D、(1,+∞)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù):fK(x)=
          f(x),f(x)≤K
          1
          f(x)
          ,f(x)>K
          ,取函數(shù)f(x)=a11(a>1).當(dāng)K=
          1
          a
          時,函數(shù)f(x)值域是(  )
          A、[0,
          1
          a
          ]∪[1,a)
          B、(0,
          1
          a
          ]∪[1,a]
          C、(0,1]∪[
          1
          a
          ,a)
          D、(0,
          1
          a
          ]∪[1,a)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•浙江)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x+1,則f(
          3
          2
          )
          =
          3
          2
          3
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數(shù),是否存在這樣的實數(shù)a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意x∈[0,1]都成立?若存在,試求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案