已知橢圓C:

的左、右焦點分別為F
1、F
2,上頂點為A,△AF
1F
2為正三角形,且以線段F
1F
2為直徑的圓與直線

相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程和離心率e;
(Ⅱ)若點P為焦點F
1關(guān)于直線

的對稱點,動點M滿足

. 問是否存在一個定點T,使得動點M到定點T的距離為定值?若存在,求出定點T的坐標及此定值;若不存在,請說明理由.
試題分析:(Ⅰ)依題意由線段F
1F
2為直徑的圓與直線

相切,根據(jù)點到直線的距離公式得

,可得c值,再由△AF
1F
2為正三角形,得a、b、c間關(guān)系,求出a、b的值,即得橢圓方程及離心率;(Ⅱ)假設(shè)存在一個定點T符合題意,先求出點

關(guān)于直線

的對稱點

,由題意

得

,可知動點M的軌跡,從而得解.
試題解析:解:(Ⅰ)設(shè)焦點為

,
以線段

為直徑的圓與直線

相切,

,即c=2, 1分
又

為正三角形,

, 4分

橢圓C的方程為

,離心率為

. 6分
(Ⅱ)假設(shè)存在一個定點T符合題意,設(shè)動點

,由點

得
點

關(guān)于直線

的對稱點

, 7分

由

得

,

兩邊平方整理得

, 10分
即動點M的軌跡是以點

為圓心,

長為半徑的圓,

存在一個定點

且定值為

. 12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的對稱中心為坐標原點,上焦點為

,離心率

.

(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)設(shè)

為

軸上的動點,過點

作直線

與直線

垂直,試探究直線

與橢圓

的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓


的四個頂點恰好是一邊長為2,一內(nèi)角為

的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓

的方程;
(II)直線

與橢圓

交于

,

兩點,且線段

的垂直平分線經(jīng)過點

,求

(

為原點)面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

的焦點

以及橢圓

的上、下焦點及左、右頂點均在圓

上.
(1)求拋物線

和橢圓

的標準方程;
(2)過點

的直線交拋物線

于

兩不同點,交

軸于點

,已知

,則

是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

的焦點為F
2,點F
1與F
2關(guān)于坐標原點對稱,直線m垂直于x軸,垂足為T,與拋物線交于不同的兩點P、Q且

.
(1)求點T的橫坐標

;
(2)若以F
1,F
2為焦點的橢圓C過點

.
①求橢圓C的標準方程;
②過點F
2作直線l與橢圓C交于A,B兩點,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知兩點F
1(-1,0)及F
2(1,0),點P在以F
1、F
2為焦點的橢圓C上,且|PF
1|、|F
1F
2|、|PF
2|構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F
1M⊥l, F
2N⊥l.求四邊形F
1MNF
2面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
求滿足下列條件的橢圓方程長軸在

軸上,長軸長等于12,離心率等于

;橢圓經(jīng)過點

;橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4.
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