Question

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，△AF₁F₂為正三角形，且以線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F₁關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足. 問是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF₁F₂為正三角形，得a、b、c間關(guān)系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由題意得，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡，從而得解.
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)焦點(diǎn)為，
以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，    1分
又為正三角形，，  4分
橢圓C的方程為，離心率為.        6分
（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)得
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，                     7分
由得，
兩邊平方整理得，                      10分
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，
存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.                         12分