Question

已知函數(shù)．

（1）求證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應(yīng)的近似值（誤差不超過）；（參考數(shù)據(jù)，，）

（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∴在區(qū)間上存在唯一的極小值點，間內(nèi)任意一點即為所求． （Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)在0和1處的值，乘積小于0即可

（Ⅱ）利用分參法把a分離出來，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求a的取值范圍

（Ⅰ），   ∵  ，，

∴  ．                             ……………………2分

令 ，則，     ……………………3分

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴  在區(qū)間上存在唯一零點，

∴在區(qū)間上存在唯一的極小值點．       …………………4分

取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下：

①        ，而，∴  極值點所在區(qū)間是；

②        又，∴  極值點所在區(qū)間是；

③  ∵  ，∴  區(qū)間內(nèi)任意一點即為所求．  ……7分

（Ⅱ）由，得，

即 ，∵  ，   ∴ ，………………8分

令 ， 則．   ………………10分

令 ，則．

∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，

因此故在上單調(diào)遞增，       

則，∴  的取值范圍是