Question

（2003•海淀區(qū)一模）（1）一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0；
（2）一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0；
（3）一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則對于任意n∈N，都有a_n•a_n+1＜0；
（4）一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N），則對于任意n＞k，都有a_n＞0．
其中正確命題的序號是

（1）（3）（4）

．

Answer 1

分析：利用等比熟練和等差熟練的定義和公式，確定等比和公差的取值，然后分別進行判斷．

解答：解：（1）在等比數(shù)列中，a_k+1=a_kq，若a_k＜0，a_k+1＜0，則q＞0，所以數(shù)列的每一項符號相同，即對于任意n∈N，都有a_n＜0，成立，所以（1）正確．
（2）在等差數(shù)列中，存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0不一定成立，比如等差數(shù)列a_n=-2n+4，存在a₃＜0，a₄0，所以（2）錯誤．
（3）在等比數(shù)列中，存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則ak?ak+1=(ak)2q＜0，則公比q＜0，所以對于任意n∈N，都有a_n•a_n+1＜0成立．所以（3）正確．
（4）在等差數(shù)列中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N），則得公差d＞0，即數(shù)列為遞增數(shù)列，所以對于任意n＞k，都有a_n＞a_k＞0，成立．所以（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和公式，利用通項公式是解決本題的關(guān)鍵．