Question

【題目】（本小題13分）已知數(shù)列滿足：，，且．記

集合．

（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；

（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（III ）8．

【解析】（Ⅰ）由已知可知：

（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學歸納法證明對任意，是3的倍數(shù)，當時，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時，因為或，所以是3的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).

（Ⅲ）由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因為第二個數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，

①若中有3的倍數(shù)，由（2）知：所有的都是3的倍數(shù)，所以都是3的倍數(shù)，所以除以9的余數(shù)為為3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第三項起最多2項，加上前面兩項，最多4項.

②中沒有3的倍數(shù)，則都不是3的倍數(shù)，對于除以9的余數(shù)只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從起，除以9的余數(shù)是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不斷的6項循環(huán)（可能從2，4，8，7或5開始），而除以9的余數(shù)是1，2，4，8，5且是4的倍數(shù)(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的項加上前兩項最多8項，則時，，項數(shù)為8，所以集合的元素個數(shù)的最大值為8.