Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）的圖象在點(diǎn)P（x，h（x））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1），由此能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，，其中x＞0，令，方程無(wú)解，由此推導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線．
（3）當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x，f（x））處的切線方程為．由此能推導(dǎo)出y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或．
∵a＞2，∴．
當(dāng)0＜x＜1及時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，，其中x＞0，
令，方程無(wú)解，
∴不存在實(shí)數(shù)m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線．
（3）由（2）知，當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x，f（x））處的切線方程為，
設(shè)，
則φ（x）=0．

若在上單調(diào)遞減，
∴時(shí)，φ（x）＜φ（x）=0，此時(shí)；
若在上單調(diào)遞減，
∴時(shí)，φ（x）＞φ（x）=0，此時(shí)．
∴y=f（x）在上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”．
若，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x時(shí)，φ（x）＞φ（x）=0，
當(dāng)x＜x時(shí)，φ（x）＜φ（x）=0，故．
即此時(shí)點(diǎn)P是y=f（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”
綜上，y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．