Question

已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)；求證OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，代入可求
（2）聯(lián)立，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4，代入到=x₁x₂+y₁y₂可證OC⊥OD
解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴，
∵
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y²-8
整理可得，x²=2y
（2）聯(lián)立可得x²-2x-4=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4
∵=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OC⊥OD
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解點(diǎn)的軌跡方程，直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了計(jì)算的能力．